Nếu triết học nghiên cứu vềsự vận động và phát triển của sự vật và hiện tượng thì toán học nghiêncứu về những đối tượng và các tính chất bất biến của nó. Điều đó chothấy rằng toán học và triết học có mối liên hệ chặt chẽ với nhau.
“Vật chất dùng để chỉ thực tại khách quan được đem lại cho con ngườitrong cảm giác, được cảm giác của chúng ta chép lại, chụp lại, phản ánhvà tồn tại không lệ thuộc vào cảm giác”. Các đối tượng toán học đều cóđặc điểm như vậy. Thế giới toán học như thể một thế giới vật chất thunhỏ mà trong có các đối tượng toán học như thể vật chất, còn các tínhchất trong toán học như thể các hiện tượng. Nếu triết học nghiên cứu vềsự vận động và phát triển của sự vật và hiện tượng thì toán học nghiêncứu về những đối tượng và các tính chất bất biến của nó. Điều đó chothấy rằng toán học và triết học có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Cụthể như sau:
1) Toán học là một thế giới vật chất
Theo chủ nghĩa duy vật, vật chất có trước, ý thức có sau, vật chấtquyết định ý thức. Điều này cũng giống như trong toán học, tất cả cácđối tượng toán học đều có trước và tồn tại khách quan, không phụ thuộcvào cảm giác con người. Tất cả các đối tượng toán học đều có trướcnhững người khám phá ra nó. Chẳng hạn, hàm số-đồ thị, tập số, phươngtrình, hình lập phương…. tất cả đã vốn đều có trong thực tiễn. Thậtvậy, ta có:
+ Hàm số – đồ thị: tất cả mối liên hệ trong thực tiễn có liên quantương ứng một một đều là mối liên hệ của “hàm” (nói theo nghĩa hẹp là“hàm số”). Ví dụ: mỗi căn nhà thì có một địa chỉ, mỗi người có một sốchứng minh nhân dân, mỗi đường truyền internet có một địa chỉ IP… Sựbiến đổi tăng giảm của giá vàng, sự thay đổi về nhiệt độ, thời tiết, …đó là đồ thị.
+ Tập số: một lớp học gồm 40 học sinh, một hộp bút có 12 cậy bút, …những con số 40, 12 đó nếu con người không khám phá thì tự bản thân nóvẫn là 40 và 12, chỉ có một điều nó chưa được gán cái tên là “40-12”…Như vậy, trước khi con người tìm ra số, thì bản thân nó vẫn tồn tại mộtcách khách quan… Con người khám phá, nói chính xác hơn là khám phá lại.
+ Phương trình: nó vẫn có sẵn trong thực tiễn, đó là từ những tình huống, những bài toán cần tìm một đối tượng nào đó….
+ Hình lập phương: trong thực tiễn hình lập phương, cho dù con người cókhám phá ra nó hay không thì nó vẫn tồn tại và mãi mãi là hình lậpphương
Con người đã từ nghiên cứu thực tiễn, khái quát hóa nên các đối tượngấy…Chỉ khác, là vốn ban đầu, các đối tượng đó chưa được gọi tên là “hàmsố – đồ thị”, “tập số”, “phương trình”, “hình lập phương”… Tất cả nhữngđối tượng đó đúng như triết học đã nói “tồn tại khách quan, độc lập vớiý thức của con người, không ai sáng tạo ra và không ai có thể tiêu diệtđược”.
Trong triết học, phương pháp luận biện chứng là xem xét sự vật, hiệntượng trong sự ràng buộc lẫn nhau giữa chúng, trong sự vận động và pháttriển không ngừng của chúng. Tất cả các chứng minh toán học đều làphương pháp luận biện chứng. Khi chứng minh, đương nhiên các sự vật (ởđây là các đối tượng toán học) được nhà toán học dựa trên sự ràng buộcgiữa chúng, và trong sự vận động không ngừng. Ví dụ: khi chứng minh mộtbất đẳng thức thì các số a, b, c trong chứng minh đó hoặc là cùng thuộcR, hoặc là cùng số dương … sự ràng buộc đó cũng có thể là những điềukiện kèm theo trong bất đẳng thức. Liên quan đến việc chứng minh tínhchất nghiệm phương trình bậc ba là sự vận động (phát triển) cho một tậphợp số mới đó là tập số phức.
Tất cả các đối tượng trong toán học đều có mối quan hệ biện chứng. Ví dụ:
+ Phép toán “1+1=2”: trong phép cộng nói trên thì 3 số 1, 1, 2 có quanhệ biện chứng với nhau. Nói rộng hơn tất cả các công thức trong toánhọc đều thể hiện mối quan hệ biện chứng.
+ “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau”: mối quan hệ biện chứng giữa 2 gócđối đỉnh. Tất cả các định lý, tính chất đều thể hiện mối quan hệ biệnchứng trong đó.
+ Biến số và hàm số
+ Những mệnh đề P=>, P<=> Q.
Trong triết học “thế giới vật chất có trước, phép biện chứng phản ánhnó là cái có sau. Thế giới vật chất luôn vận động và phát triển theonhững quy luật khách quan”. Đúng như vậy, thế giới toán học (bao gồmtất cả đối tượng và tính chất các đối tượng) là cái có trước còn tất cảcác chứng minh toán học là cái có sau. Con người có khả năng nhận thứcđược các quy luật của các đối tượng đó. Sự nhận thức này là từ phươngpháp luận biện chứng đã nói ở trên. Như vậy, toán học và phương phápluận biện chứng cũng không thể tách rời nhau, mà chúng phải gắn bó chặtchẽ với nhau.
2) Thế giới vật chất tồn tại khách quan
“Ý thức con người của con người (thông qua hoạt động) tuy có ảnh hưởngđến sự tồn tại và phát triển của giới tự nhiên, song sự tồn tại và pháttriển của giới tự nhiên vẫn tuân theo những quy luật riêng của chúng,con người không thể quyết định hoặc thay đổi những quy luật đó theo ýmuốn chủ quan của mình”. Trong toán học, từ những hoạt động toán học(khám phá các đối tượng, chứng minh các tính chất toán học) đã làm cho“thế giới toán học” phát triển ngày càng nâng cao, nhưng toán học vẫncó sự phát triển theo quy luật chung khách quan không phụ thuộc vào conngười, con người không thể thay đổi được các quy luật đó. Nếu như “2đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ 3 thìchúng song song với nhau” thì mãi mãi là như vậy. Đó là một chân lý, dùmuốn dù không, dù có khám phá ra hay chưa khám phá ra con người cũngkhông thể thay đổi được. Ngay cả việc Lobasepxki thay đổi các tiền đềcủa hình học Ơclit để tạo ra hình học phi Ơclit thì sự hình thành hìnhhọc mới cũng rất tự nhiên theo quy luật khách quan. Xét trên hệ tiền đềmới thì những quy luật mới trong hình học phi Ơclit ví dụ như “tổng 3góc trong tam giác không bằng 180°” cũng là một quy luật tự thân cósẵn. Ở đây ta không được cho rằng hình học phi Ơclit phủ nhận hình họcƠclit bởi vì 2 hình học là xây dựng trên những tiền đề khác nhau. Tấtcả quy luật đó không do một lực lượng thần bí nào tạo ra, nó là nhữngquy luật tự nhiên.
“Con người không thể tạo ra thế giới tự nhiên, nhưng có thể nhận thứcđược thế giới tự nhiên và cải tạo được thế giới tự nhiên”. Tất cả cácđối tượng toán học và tính chất bất biến trong toán học đều có quy luậtriêng của nó. Tuy nhiên con người có khả năng nhận thức được, tác độngvào nó và khám phá ra nó sớm hơn để nó trở lại phục vụ cho con người.Vẫn có thể trong quá trình phát triển của toán học, con người nhận thứcsai nhưng từ những nhận thức sai đó đôi khi lại mở đường cho toán họcphát triển. Những nhận thức sai đó sẽ thúc đẩy con người tìm ra chânlý. Việc nhận thức về toán học cũng đã làm cho con người hiểu rõ hơn vềthế giới vật chất, nâng cao thế giới quan và phương pháp luận biệnchứng của con người.
3) Sự vận động và phát triển của thế giới vật chất
Thế giới vật chất luôn luôn vận động và phát triển. Sự vận động và pháttriển đó có thể là sự vận động trong nội tại kiến thức toán học. Ví dụnhư:
+ Phép tịnh tiến đồ thị, góc lượng giác, phép biến hình trong hình học,quỹ tích và tập hợp điểm, họ đường cong chứa tham số, giới hạn hàm số,sự liên tục của hàm số, góc lượng giác…
+ Hiểu rộng hơn, sự vận động còn thể hiện ở phương trình và bất phươngtrình chứa tham số, khi tham số thay đổi phương trình và bất phươngtrình thay đổi… Và ta cần chú ý khi xem xét các phương trình và bấtphương trình phải xem xét trong trạng thái vận động không cứng nhắc đểtránh sai lầm. Ví dụ: nếu phương trình tham số m thì phải biện luận rõcác trường hợp a=0, a≠0
+ Các bất đẳng thức có điều kiện cũng thể hiện sự vận động. Nếu khôngđể ý các điều kiện thì cũng sẽ dẫn đến sai lầm trong việc chứng minhbất đẳng thức
+ Số tự nhiên => số nguyên => số hữu tỉ => số thực => số phức
+ Số => phép cộng => phép nhân => lũy thừa => logarit
Sự vận động phát triển đó còn là sự vận động và phát triển của các kiếnthức toán học nói chung. Tất cả các kiến thức toán học phát triển hàngngày hay ngày thậm chí hàng giờ. Ngược dòng thời gian, ban đầu conngười ta chỉ biết giải phương trình bậc nhất, nhưng sau đó con người đãbiết giải phương trình bậc hai, bậc ba, bậc bốn và thậm chí còn chứngminh được phương trình bậc năm không có phương pháp giải tổng quát.Không chỉ lý thuyết toán phát triển, mà công cụ giải toán cũng pháttriển. Thông qua các ví dụ sau đây:
+ Nếu như hình học ban đầu chỉ giải theo phương pháp tổng hợp thì sauđó đã có những công cụ mới giải toán mạnh hơn, phù hợp hơn như phươngpháp vectơ, phương pháp giải tích…
+ Việc vẽ đồ thị, từ việc dùng công cụ đại số (thay điểm) để vẽ đồ thị cho đến công cụ giải tích (dùng bảng biến thiên).
+ Với các bài toán đố, chỉ với những phép toán thông thường thì việcgiải một số bài toán rõ ràng bất tiện và không nhanh chóng hơn bằngphương pháp dùng phương trình để giải. Ví dụ: bài toán “gà và chó”…
+ Việc xét dấu từ nhị thức => tam thức
Tất cả điều đó cho thấy cái mới ra đời thay thế cái cũ, cái tiến bộ rađời thay thế cái lạc hậu. Nhưng sự thay thế đó không phải là phủ nhậnhoàn toàn, mà là trên cơ sở kế thừa cái cũ. Chẳng hạn, một số phươngtrình bậc ba, bậc 4 dạng đặc biệt cũng được giải bằng cách đưa vềphương trình bậc hai; còn trong một bài toán hình học đôi khi phải kếthợp cả các phương pháp phương pháp vectơ, phương pháp giải tích,… Tấtcả sự phát triển đó là tất yếu trong toán học, và vì sự tất yếu đó, nênkhi xem xét kiến thức toán học phải ủng hộ cái mới, tránh thái độ bảothủ. Cụ thể như, khi xét dấu tam thức bậc hai, ta phải vận dụng xét dấutam thức bậc hai vào giải bài toán tránh thực hiện theo kiểu tách thànhtích 2 nhị thức bậc nhất. Đôi khi, chúng ta lại nghĩ việc xét dấu nhịthức dễ hơn và chúng ta đã quen làm nên không chịu đổi mới qua phươngpháp xét dấu tam thức. Đó chính là tư tưởng bảo thủ, thành kiến cáimới, tiến bộ
Tất cả sự phát triển và vận động đó cũng gắn liền với sự phát triển vàvận động của tư duy các nhà toán học. Sự phát triển không ngừng đó củatoán học đã tạo ra sự phát triển về việc ứng dụng toán học vào các mônkhoa học khác và vào thực tế cuộc sống. Toán học ngày càng phát triểnthì khả năng ứng dụng của nó vào thực tiễn ngày càng cao
4) Nguồn gốc vận động, phát triển của sự vật và hiện tượng
Mâu thuẫn là một chỉnh thể, trong đó có hai mặt đối lập vừa thống nhấtvới nhau, vừa đấu tranh với nhau. Trong toán học, những mặt đối lập đólà số âm và số dương (trong chỉnh thể số thực), số chẵn và số lẻ (trongchỉnh thể số tự nhiên), đồng biến, nghịch biến (trong chỉnh thể hàmsố), mệnh đề và phủ định của mệnh đề đó (trong chỉnh thể mệnh đề), tậphợp và phần bù của tập hợp, = và ≠, số đúng và số gần đúng, trục Ox,Oy, ngoại tiếp và nội tiếp… Những mặt đối lập liên hệ gắn bó chặt chẽvới nhau, làm tiền đề tồn tại cho nhau. Triết học gọi đó là sự thốngnhất của các mặt đối lập. Thật vậy, số thực dương và số thực âm khôngtồn tại riêng lẻ, nếu không có số thực dương thì số thực âm cũng khôngcó đồng thời không tồn tại tập số thực và ngược lại.
5) Cách thức vận động và phát triển của sự vật và hiện tượng
Sự biến đổi về chất dẫn đến sự biến đổi về lượng, chất mới sinh ra bao hàm một lượng mới tương ứng.
+ Ta xét tổng sau đây S=a+b
+ Quy tắc tam suất
+ Hàm số
+ Xét dấu biểu thức f(x)=6x+7: khi x thay đổi dần đến điểm giới hạn thì dấu của biểu thức cũng thay đổi
+ Xét một phương trình đa thức. Nếu nó là phương trình bậc hai thì cótính chất về nghiệm là vô nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phânbiệt; còn nếu nó là phương trình bậc ba thì có tính chất về nghiệm làcó nghiệm, có hai nghiệm, có ba nghiệm phân biệt
Một số câu hỏi tìm hiểu thêm:
1) Hãy cho 3 ví dụ sự vận động trong toán học. Trong triết học có nói,khi xem xét sự vật hiện tượng phải đặt trong trạng thái vận động khôngngừng của chúng. Vận dụng điều này vào giải toán như thế nào?
2) Nhận thức gồm 2 loại là nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính, nhàtriết học cổ Platon phê phán việc nhận thức cảm tính để chinh phục trithức thế giới. Họ cho rằng bằng nhận thức cảm tính con người ta khôngbao giờ tìm được tri thức đích thực. Chỉ bằng nhận thức lý tính (cụ thểlà tư duy con người) người ta mới có thể tìm ra được tri thức đíchthực, suy nghĩ của bạn về vấn đề này?
3) Trong triết học Mác có nói “quá trình nhận thức khoa học là từ trựcquan sinh động cho đến tư duy trừu tượng rồi từ tư duy trừu tượng trởvề với thực tiễn”. Câu nói này được hiểu thế nào?
4) Sự biến đổi về lượng dẫn đến sự biến đổi về chất là một quá trình biến đổi từ từ. Vận dụng điều này vào việc dạy và học toán?
5) Trong triết học “sự biến đổi về lượng dẫn đến sự biến đổi về chất vàđồng thời chất mới sẽ bao hàm một lượng mới tương ứng”. Hãy dựa vàochương “bất đẳng thức” mà đã được học, hãy làm sáng tỏ điều trên
6) Nhà toán học Pháp Decart – cha đẻ của hệ trục tọa độ đã từng nói mộtcâu rất nổi tiếng “tôi tư duy là tôi tồn tại”. Câu nói của ông thể hiệnquan điểm triết học duy vật hay duy tâm vì sao?
7) Làm rõ mối quan hệ về lượng và chất trong các đối tượng sau:
a) Phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 (a≠0) và Delta=b2-4ac
b) Trong toán học người ta cho rằng “đường tròn là một đa giác đều mà số cạnh là vô hạn
c) Trong hệ tọa độ Oxy, cho 2 điểm M1(x1,1), M(x2,2)
d) Chương bất đẳng thức
Một số lời gợi ý:
4) Muốn giỏi toán, muốn điểm cao môn toán ta phải siêng năng, cần mẫnkhông được vội vàng nôn nóng, phải đi từ những việc nhỏ nhất (để cholượng biến đổi dần) làm bài thật cẩn thận, phải đọc kĩ đề, phải xétđiều kiện, phải biện luận đầy đủ trường hợp, phải làm nháp nếu cầnthiết, đọc kĩ đề bài rồi làm… Chúng ta nên nhớ “tích tiểu thành đại”,“góp gió sẽ thành bão”
5) Từ nhiều bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương, ngườita đã khái quát nên bất đẳng thức Cosi cho 3 số, và từ đó nó trở thànhmột công cụ quan trọng để chứng minh rất nhiều bài toán bất đẳng thức
7d) Ban đầu chứng minh bất đẳng thức là chứng minh bằng phương pháptương đương. Từ một số bài chứng minh bằng phương pháp tương đương(lượng biến đổi), người ta tổng quát hóa nên bất đẳng thức Cosi. Và khiđó người ta dùng bất đẳng thức Cosi để chứng minh (chất biến đổi). Vớiphương pháp này, một số lượng lớn bất đẳng thức đã được chứng minh (baohàm lượng tương ứng
Free forum | ©phpBB | Free forum support | Báo cáo lạm dụng | Thảo luận mới nhất
Thu Oct 06 2016, 09:39
Tiêu đề: Toán học dưới cái nhìn triết học 
Wed Sep 29 2010, 10:15
